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數學家的小故事:“解析幾何之父”笛卡爾

法國是一個充滿了浪漫的國度,這個國家給人的印象是香榭大道,詩歌和浪漫情懷。但是這個泡在香檳里的國家也在發酵著屬于自己的科學。法國歷史上出現過許多科學家,今天極客數學幫的《數學家的小故事》就要給大家介紹其中的一位著名的數學家——笛卡爾。

數學家的小故事

勒內·笛卡爾,1596331日生于法國安德爾-盧瓦爾省的圖賴訥拉海,1650211日逝世于瑞典斯德哥爾摩,是法國著名的哲學家、數學家、物理學家。他是西方近代哲學奠基人之一。

他對現代數學的發展做出了重要的貢獻,因將幾何坐標體系公式化而被認為是解析幾何之父。他還是西方現代哲學思想的奠基人,是近代唯物論的開拓者且提出了普遍懷疑的主張。他的哲學思想深深影響了之后的幾代歐洲人,開拓了歐陸理性主義哲學。人們在他的墓碑上刻下了這樣一句話:“笛卡爾,歐洲文藝復興以來,第一個為人類爭取并保證理性權利的人。”

數學家笛卡爾的成就

笛卡爾對數學最重要的貢獻是創立了解析幾何。在笛卡爾時代,代數還是一個比較新的學科,幾何學的思維還在數學家的頭腦中占有統治地位。笛卡爾致力于代數和幾何聯系起來的研究,并成功地將當時完全分開的代數和幾何學聯系到了一起。于1637年,在創立了坐標系后,成功地創立了解析幾何學。他的這一成就為微積分的創立奠定了基礎,而微積分又是現代數學的重要基石。解析幾何直到現在仍是重要的數學方法之一。

笛卡爾不僅提出了解析幾何學的主要思想方法,還指明了其發展方向。在他的著作《幾何》中,笛卡爾將邏輯,幾何,代數方法結合起來,通過討論作圖問題,勾勒出解析幾何的新方法,從此,數和形就走到了一起,數軸是數和形的第一次接觸。并向世人證明,幾何問題可以歸結成代數問題,也可以通過代數轉換來發現、證明幾何性質。笛卡爾引入了坐標系以及線段的運算概念。他創新地將幾何圖形‘轉譯’代數方程式,從而將幾何問題以代數方法求解,這就是今日的“解析幾何”或稱“座標幾何”。

解析幾何的創立是數學史上一次劃時代的轉折。而平面直角坐標系的建立正是解析幾何得以創立的基礎。直角坐標系的創建,在代數和幾何上架起了一座橋梁,它使幾何概念可以用代數形式來表示,幾何圖形也可以用代數形式來表示,于是代數和幾何就這樣合為一家人了。

此外,現在使用的許多數學符號都是笛卡爾最先使用的,這包括了已知數a, b, c以及未知數x, y, z等,還有指數的表示方法。他還發現了凸多面體邊、頂點、面之間的關系,后人稱為歐拉-笛卡爾公式。還有微積分中常見的笛卡爾葉形線也是他發現的。

笛卡爾坐標系

在數學里,笛卡爾坐標系(Cartesian坐標系),也稱直角坐標系,是一種正交坐標系。二維的直角坐標系是由兩條相互垂直、0 點重合的數軸構成的。在平面內,任何一點的坐標 是根據數軸上 對應的點的坐標設定的。在平面內,任何一點與坐標的對應關系,類似于數軸上點與坐標的對應關系。

采用直角坐標,幾何形狀可以用代數公式明確的表達出來。幾何形狀的每一個點的直角坐標必須遵守這代數公式。

笛卡爾坐標系是由法國數學家勒內·笛卡爾創建的。1637年,笛卡爾發表了巨作《方法論》。這本專門研究與討論西方治學方法的書,提供了許多正確的見解與良好的建議,對于后來的西方學術發展,有很大的貢獻。

為了顯示新方法的優點與果效,以及對他個人在科學研究方面的幫助,在《方法論》的附錄中,他增添了另外一本書《幾何》。有關笛卡爾坐標系的研究,就是出現于《幾何》這本書內。

笛卡爾在坐標系這方面的研究結合了代數與歐幾里得幾何,對于后來解析幾何、微積分、與地圖學的建樹,具有關鍵的開導力。

數學家笛卡爾的小故事

在笛卡爾之前,幾何是幾何,代數是代數,它們各自為政,互不相擾。但是,傳統的幾何過分依賴圖形和形式演繹,而代數又過分受法則和公式的限制,這一切都制約了數學的發展。有一天,一位年輕的軍官突發奇想,能不能找到一種方法,架起溝通代數與幾何的橋梁呢?這位年輕的軍官就是笛卡爾,這個問題苦苦折磨著他。在沒有戰事的軍隊中,他常常花費大量的時間去思考它。

1619年,笛卡爾所在軍隊的軍營駐扎在多瑙河旁。11月的一天,他因病躺在了床上,無所事事的他又想起了那個折磨他很久的問題。

天花板上,一只小小的蜘蛛從墻角慢慢地爬過來,吐絲結網,忙個不停。從東爬到西,從南爬到北。要結一張網,小蜘蛛該走多少路啊!笛卡爾就開始想如何去算蜘蛛走過的路程。他先把蜘蛛看成一個點,那么這個點離墻角有多遠呢?離墻的兩邊多遠? 昏昏沉沉的,他思考著,計算著,病中的他又睡著了。夢中,他好像看見蜘蛛還在爬,離兩邊墻的距離也是一會兒大些,一會兒小些……他好像悟出了什么,又看到了什么,大夢醒來的笛卡爾茅塞頓開:要是知道蜘蛛和兩墻之間的距離關系,不就能確定蜘蛛的位置嗎?確定了位置后,自然就能算出蜘蛛走的距離了。于是,他鄭重地寫下了一個定理:在互相垂直的兩條直線下,一個點可以用到這兩條直線的距離,也就是兩個數來表示,這個點的位置就被確定了。這個發現在我們現在看來毫不稀奇,那不就是坐標圖嗎?中學生的課本上多了去了,算什么呢?可是,這在當時可真是一個了不起的發現,這是第一次用數形結合的方式將代數與幾何聯起來了。它使幾何概念用數來表示,幾何圖形也可以用代數形式來表示。這是解析幾何學誕生的曙光,沿著這條思路前進,在眾多數學家的努力下,數學的歷史發生了重要的轉折,解析幾何學最終被建立起來。

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